DNSサーバーでドメインのゾーン情報を書き換えた時に、新しい情報がインターネット上に
広まり設定が反映されるまで、ある程度の期間がかかります。
これがDNS浸透期間とか、プロパゲーション期間と呼ばれるものです。
DNS浸透期間が経過するまでは、古い情報が参照されることがあります。
DNS情報はいっせいに切り替わるのではなく、徐々にインターネット上に広まって行きますので、
接続する経路によって新旧どちらの情報が参照されるかわかりません。
ドメインに紐づけるサーバーを変更する場合、
Webであれば、新旧どちらにもアクセスがあるので、旧サーバーにもコンテンツを残しておく必要があります。
メールであれば、新旧どちらのサーバーに届くかわからないので、両方のサーバーからメールを受信する必要があります。
DNS浸透期間は、一般的に3日程度と言われています。
サーバーを移行する際は、新旧のサーバーをしばらく併用することをお勧めいたします。